navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Osnove logike in teorija množic

Objavljeno: 22.2.2019

Osnove logike in teorija množic

Osnove logike

Vsak smiseln povedni stavek v matematiki imenujemo izjava. Zanimalo nas bo samo, ali je izjava pravilna ali nepravilna.

Primer:

A: Število 5 je praštevilo.

B: Število 14 je deljivo s 4.

C: Vsak kvadrat je pravokotnik.

Izjavi A in C sta pravilni, B je nepravilna. Pravilno izjavo označimo s p, nepravino z n.

Naj bo A izjava. Če jo zanikamo, dobimo naspotno izjavo ali negacijo izjave A. To ozačimo z $\neg A.$ Če je prvotna izjava pravilna, je negirana izjava nepravilna in obratno; če je prvotna izjava nepravilna, je negirana izjava pravilna. Velja tudi, da je negacija negirane izjave kar prvotna izjava: $\neg \neg A = A.$

Primer negacije:

A: Število 11 je praštevilo.

$\neg A$: Število 11 ni praštevilo. (n)

Izjave na različne načine združujemo v sestavljene izjave.

Sestavljeno izjavo, kjer hkrati veljata A in B, imenujemo konjukcija ali stik izjav. Oznaka za stik je $\land$ in $A \land B$ prebermo kot "A in B." Takšna izjava je pravilna, če sta pravilni obe izjavi, drugače je nepravilna.

Primer konjukcije:

Pravokotnik ima štiri stranice in hkrati $5 \cdot 2 = 10.$

Konjukcija je pravilna, saj sta pravilni obe izjavi.

Sestavljeno izjavo, pri kateri velja vsaj ena od izjav A in B, imenujemo disjunkcija oziroma razmik. Oznaka za razmik je $\lor$ in izraz $A \lor B$ preberemo kot "A ali B". Z pravilnost razmika zahtevamo, da je vsaj ena od izjav pravilna. Nepravilna je le v primeru, ko sta obe izjavi nepravilni.

Primer disjunkcije:

a) $(2 \cdots 4 = 9) \land (2+4=6)$

Disjunkcija $A \land B$ je pravilna, ker je druga izjava pravilna. b) $(2+5=6)\land (7 \: je \: sodo \: število)$

Disjunkcija $A \land B$ je nepravilna, ker sta obe izjavi nepravilni.

Implikacija je izjava oblike $A \rightarrow B$, kar preberemo kot "Če A, potem B". Izjava A je pogoj ali hipoteza, B pa posledica ali sklep. Implikacija je nepravilna, če iz pravilnega pogoja sledi nepravilen. Drugače je pravilna.

Primer implikacije:

Če je število deljivo z 9, potem je deljivo tudi s 3.

Sklep je jasen, saj velja $9=3 \cdot 3.$ Ne velja pa obratno! Če je število deljivo s 3, ni nujno, da je deljivo tudi z 9 (primer: 24 je deljivo s 3, ni pa deljivo z 9).

Ekvivalenca je izjava oblike $A \iff B$, kar pomeni: "Izjava A velja natanko tedaj, ko velja B" oz. "A velja če in samo če velja B". Ekvivalenca je pravilna, če sta izjavi A in B hkrati pravilni oz. nepravilni.

Primer ekvivalence:

Število je deljivo s 15, če in samo če je deljivo s 5 in 3.

Če število ni deljivo s 15, potem ni deljivo z vsaj enim od faktorjev 5 ali 3. Če pa je število deljivo s 3 in 5, potem pa je deljivo tudi s $3 \cdot 5=15.$

Resničnostna tabela:

\begin{array}{c | c | c | c | c | c | c} A & B & \neg A & A \land B & A \lor B & A \rightarrow B & A \equiv B \\\hline n & n & p & n & n & p & p \\\hline n & p & p & n & p & p & n \\\hline p & n & n & n & p & n & n \\\hline p & p & n & n & p & p & p \\\hline \end{array}

Podobno kot pri računskih operacijah tudi pri izjavah z oklepaji določimo vrstni red izvajanja operacij. Če oklepajev ni, velja naslednji prioritetni vrstni red: Najvišjo prioriteto ima negacija, sledijo konjukcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca. Pri hkratnem izvajanju enake izjavne povezave, velja pravilno združevanja od leve proti desni.

Primer:

$A \lor B \land \neg C \rightarrow D$

lahko zapišemo kot:

$(A \lor (B \land (\neg C))) \rightarrow D.$

Teorija množic

Množico lahko podano na tri različne načine:

Množico, ki nas v danem primeru zanimajo, imenujemo univerzalna množica in jo označimo z $U$. Prazna množica (oznaka: $\emptyset$) je množica, ki ne vsebuje nobenega elementa.

Operacije nad množicami

Množica $A$ je podmnožice $B$, če je vsak element iz $A$ tudi element množice $B$. To označimo z $A \subset B.$ Množici $A$ in $B$ sta enaki natanko takrat, ko je množica A podmnožica B in obratno.

Presek množic $A$ in $B$ je množica vseh tistih elementov, ki so v množici $A$ in množici $B$. Oznaka: $A \cap B$. Unija množic $A$ in $B$ je množica vseh tistih elementov, ki so v množici $A$ ali v množici $B$ kar označimo z $A \cup B.$

Množici $A$ in $B$ sta disjunktni (tuji), če je njun presek prazna množica.

Razlika množic $A - B$ je množica vseh tistih elementov, ki so v A in niso v B. Označimo z $A - B$ ali $A \backslash B.$

Naj bo množica A podmožica U. Komplement množice A glede na njeno univerzalno množico U, je množica elementov, ki so v U in niso v A. Oznaka: $A^C.$

Kartezični produkt nepraznih množic $A$ in $B$ je množica vseh urejenih parov $(a,b)$, kjer je prvi element iz A in drugi iz B. To zapišemo kot $A \times B = \{ (a,b); (a \in A) \land (b \in B)\}.$

Potenčna množica $\mathcal{P} A$ množice $A$ je množica vseh njenih podmnožic. Množica z $n$ elementi ima $2^n$ podmnožic.

Moč množice $A$ s končno mnogo elementi je enaka številu elementov $n$ množice $A$: $m(A) = n.$ Za množici A in B pravimo, da sta enako močni, če velja $m(A) = m(B).$

Množica $A$ je števno neskončna, če je enako možna kot množica naravnih števil in ima moč kontinuuma, če je enako močna kot množica realnih števil.

Moč unije dveh netujih končnih množic A in B dobimo tako, da seštejemo moči obeh množic in odštejemo moč preseka, saj smo elemente pri seštevanju šteli dvakrat: $$m(A \cup B) = m(A) + m(B) - m(A \cap B).$$ Če ima množica $A$ $m$ elementov in $B$ $n$ elementov, ima njun kartezični produkt $m \cdot n$ elementov.

Računski primeri

Primer 1:

Dani sta množici: $A = \{b,c,d,e,f,g,h,j\}$ in $B = \{a,b,c,g,i,j\}$. Zapišimo presek, unijo, obe razliki množic in $(B - A) \times (A -B).$

presek: $A \cap B = \{b, c, g ,j \}$

unija: $A \cup B = \{ a,b,c,d,e,f,g,h,i,j \}$

razliki: $A \backslash B = \{ d,e,f,h \}$ in $B \backslash A = \{ a,i \}$

$(B - A) \times (A -B) = \{ (a,d), (a,e), (a,f), (a,h), (i,d), (i,e), (i,f), (i,h) \}.$ }

Primer 2:

Med 32 učenci v razredu jih ima doma 8 samo mačko, 6 samo psa in 5 samo zlate ribice, 3 imajo psa in zlate ribice, 2 imata zlate ribice in mačko, 5 jih ima mačko in psa, eden pa vse tri živali. Koliko učencev v razredu nima doma nobene živali? Koliko učencev ima doma mačko ali psa, nimajo pa zlatih ribic?

Množice uprizorimo z diagramom. Če želimo izvedeti, kdo nima nobene živali, samo seštejemo vse učence, ki imajo vsaj eno žival. Torej: $8 + 6 + 5 + 3 + 2 + 5 + 1 = 30$ in $32- 30 =2.$ Dva učenca torej nimata hišnih ljubljenčkov.

Če želimo izvedeti, kdo ima mačko in psa, nima pa zlatih ribic, moramo pogledati presek med učenci z mačkami in psi. Torej: $ 9 + 6 + 5 = 19.$}

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktor Jan

inštruktor meseca

3 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.