Deljenje polinomov

Deljenje polinomov je algoritem za deljenje polinoma z drugim polinomom enake ali nižje stopnje. Deljenje lahko opravimo enostavno "na roke".

Deljenje polinomov $A$ in $B$ lahko opišemo kot: $$ A = BQ + R $$ kjer je $A$ delitelj, $B$ deljenec, $Q$ kvocient in $R$ ostanek. Če je $R$ enak nič, pomeni, da sta polinoma $A$ in $B$ deljiva, oziroma $B$ deli $A$.

Primer

Oglejmo si deljenje na primeru:

Deli polinom $x^3 - 2x^2 - 4$ s polinomom $x-3$.

Najprej si zapišimo podatke, ki jih imamo podane. Deljenec je polinom $x^3 - 2x^2 - 4$ in delitelj je polinom $x-3$. Stopnja deljenca je $3$, ker je vodilni člen v deljencu enak $x^3$ in stopnja delitelja je $1$, ker je vodilni člen v delitelju enak $x^1$.

Najprej prepišimo deljenec tako, da vsebuje vse stopnje polinoma od največje do najmanjše.

$x^3 - 2x^2 + 0x - 4$

Postopek začnemo tako, da med seboj delimo vodilna člena delitelja in deljenca, torej $x^3$ in $x$, tako da dobimo $x^2$. To bomo naredili v vsakem koraku dokler ne bo stopnja ostanka manjša od stopnje delitelja. Rezultati teh posameznih korakov bodo tvorili kvocient (zgoraj $Q$).

$(x^3 - 2x^2 + 0x - 4):(x-3) = x^2$, ker je $\frac{x^3}{x}=x^2$

Sedaj moramo dobljeni količnik ($x^2$) pomnožiti s polimomom delitelja, da dobimo

$x^2 \cdot (x-3) = x^3 - 3x^2$

Dobljeni polinom podpišemo pod deljenca in vsem členom dobljenega polinoma zamenjamo predznak

$(x^3 - 2x^2 + 0x - 4)$
$\underline{-x^3 + 3x^2}$
$x^2 + 0x -4$

Dobljeni polinom sedaj spet delimo z deliteljem ($x-3$)

$(x^2 + 0x -4) : (x-3) = x$, ker je $\frac{x^2}{x} = x$

rezultat ($x$) množimo z deliteljem ($x-3$) in dobimo:

$x \cdot (x-3) = x^2 - 3x$

Rezultat podpišemo pod rezultat seštevanja iz prejšnjega koraka in zamenjamo predznake pri rezultatu ($x^2 - 3x$).

$(x^2 + 0x -4)$
$\underline{- x^2 + 3x}$
$3x -4$

Postopek ponovimo za polinom $3x - 4$

$(3x - 4):(x-3) = 3$, ker je $\frac{3x}{x} = 3$

Pomnožimo dobljeni rezultat ($3$) z deliteljem ($x-3$) in dobimo

$(x-3)\cdot 3 = 3x - 9$

Zamenjamo predznak in odštejemo od prejšnje rešitve

$\:3x - 4$
$\underline{-3x + 9}$
$5$

Ostanek pri deljenju je torej 5, rezultat deljenja pa polinom $x^2 + x +3$

Rezultat smo dobili tako, da smo upoštevali vse vmesne rezultate pri deljenju.
$x^2$ smo dobili pri deljenju $(x^3 - 2x^2 + 0x - 4):(x-3) = x^2 $
$x$ pri deljenju: $(x^2 + 0x -4) : (x-3) = x$
$3$ pri deljenju $(3x - 4):(x-3) = 3$

Postopek vam nazorno razloži inštruktor Fran na posnetku spodaj.