navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Kompleksna števila

Objavljeno: 22.2.2019

Kompleksna števila

Množica kompleksnih števil predstavlja razširitev realnih števil, v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila vsebujejo imaginarno enoto i (v elektrotehniki zasledimo tudi oznako j), kjer je $i^2 = -1$
Kompleksna števila so oblike $a + ib$, kjer je a realni del kompleksnega števila, b pa imaginarni.

Kompleksno število si lahko predstavljamo tudi v kompleksni ravnini.
kompleksno število
x-os predstavlja realni del kompleksnega števila, y-os pa imaginarni.

Pravila za računanje s kompleksnimi števili

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2\cdot i = -1 \cdot i = -i$

$i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot -1 = 1$

Višji stopnjo (npr $i^{501}$) lahko izračunamo tako, da eksponent delimo s 4 in dobimo ostanek. Rešitev je tako $i^{ostanek}$ iz zgornje tabele. $i^{501}$ je tako enak $i^1 = i$

$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$

$(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Elementarne operacije

$z = x + iy$

$\bar{z} = x - iy$

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Polarna oblika

Kompleksno število lahko zapišemo tudi v polarni obliki:

$z = r \cdot e^{i \varphi}$

Kjer $r$ predstavlja $|z|$, torej grafično oddaljenost kompleksnega števila od izhodišča a=0, b=0; in kjer $\varphi$ predstavlja kot med realno osjo in premico, ki povezuje izhodišče s kompleksnim številom.

$\varphi = arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})$

polarni zapis

Primer

Najprej racionaliziramo imenovalec, kar pomeni, da ulomek zgoraj in spodaj množimo s konjugirano kompleksnim številom, kar je $i-1$.

Dobimo:

$\frac{(i+2)(i-1)}{(i+1)(i-1)}$

Velja, da je $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$, kar upoštevamo v imenovalcu

$\frac{(i+2)(i-1)}{1 + 1} = \frac{-1 + 2i -i -2}{2} = \frac{3 + i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}$

Rezultat zapišimo še v polarni obliki.

Izračunamo $|z|$

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

$|z| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2})^2}$

$|z| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Izračunajmo $\varphi$

$\varphi = arctan(\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}}) = -18,43°$

Rezultat preverimo v kompkeksni ravnini in glede na rezultat prištejemo 180°. Pravi rezultat je torej $\varphi = 161,57°$.

161,57° pretvorimo v radiane in dobimo 2,82 (180° predstavlja $\pi$ radianov - uporabimo sklepni račun)

$z = r \cdot e^{i \varphi}$

$z = \sqrt{\frac{5}{2}} e^{i \cdot 2,82}$

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktorica Petra

inštruktor meseca

6 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.