inštrukcije > matematika > Kompleksna števila
Objavljeno: 22.2.2019
Množica kompleksnih števil predstavlja razširitev realnih števil,
v kateri lahko korenimo tudi negativna števila. Kompleksna števila
vsebujejo imaginarno enoto i (v
elektrotehniki
zasledimo tudi oznako j),
kjer je $i^2 = -1$
Kompleksna števila so oblike $a + ib$, kjer je a realni del kompleksnega števila,
b pa imaginarni.
Kompleksno število si lahko predstavljamo tudi v kompleksni ravnini.
x-os predstavlja realni del kompleksnega števila, y-os pa imaginarni.
$i^2 = -1$
$i^3 = i^2\cdot i = -1 \cdot i = -i$
$i^4 = i^2 \cdot i^2 = -1 \cdot -1 = 1$
Višji stopnjo (npr $i^{501}$) lahko izračunamo tako, da eksponent delimo
s 4 in dobimo ostanek. Rešitev je tako $i^{ostanek}$ iz zgornje tabele.
$i^{501}$ je tako enak $i^1 = i$
$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$
$(a+bi) * (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$
$z = x + iy$
$\bar{z} = x - iy$
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Kompleksno število lahko zapišemo tudi v polarni obliki:
$z = r \cdot e^{i \varphi}$
Kjer $r$ predstavlja $|z|$, torej grafično oddaljenost kompleksnega števila od izhodišča a=0, b=0;
in kjer $\varphi$ predstavlja kot med realno osjo in premico, ki povezuje izhodišče s kompleksnim številom.
$\varphi = arctan(\frac{Im(z)}{Re(z)})$
Najprej racionaliziramo imenovalec, kar pomeni, da ulomek zgoraj in spodaj
množimo s konjugirano kompleksnim številom, kar je $i-1$.
Dobimo:
$\frac{(i+2)(i-1)}{(i+1)(i-1)}$
Velja, da je $z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2$, kar upoštevamo v imenovalcu
$\frac{(i+2)(i-1)}{1 + 1} = \frac{-1 + 2i -i -2}{2} = \frac{3 + i}{2} = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}$
Rezultat zapišimo še v polarni obliki.
Izračunamo $|z|$
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$
$|z| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2})^2}$
$|z| = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
Izračunajmo $\varphi$
$\varphi = arctan(\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{2}}) = -18,43°$
Rezultat preverimo v kompkeksni ravnini in glede na rezultat prištejemo 180°. Pravi rezultat je torej $\varphi = 161,57°$.
161,57° pretvorimo v radiane in dobimo 2,82 (180° predstavlja $\pi$ radianov - uporabimo sklepni račun)
$z = r \cdot e^{i \varphi}$
$z = \sqrt{\frac{5}{2}} e^{i \cdot 2,82}$