Racionalna števila

Ulomek je izraz oblike $\frac{a}{b}$ in je rezultat deljenja števil $a$ in $b$, kjer sta $a$ in $b$ celi števili in $b \neq 0$. Število $a$ je števec, $b$ pa imenovalec ulomka.

Ulomka $\frac{a}{b}$ in $\frac{c}{d}$ sta enaka natanko tedaj, ko je $ a \cdot d = b \cdot c$. Števec in imenovalec lahko množimo in delimo s poljubnim številom, ki je različen od 0 in za rezultat dobimo ulomek, ki je enakovreden prvotnemu ulomku: $\frac{a}{b} = \frac{ka}{kb},$ $k$ različen od 0.

Ulomek $\frac{a}{b}$ je okrajšan, kadar sta števec in imenovalec tuji števili: $D(a,b) = 1.$ Vsak ulomek lahko zapišemo tako, da je imenovalec naravno število, zato navadno privzamemo, da so v imenovalcu naravna števila. Z ulomkom lahko zapišemo tudi poljubno celo število in sicer tako, da je imenovalec enak 1. ($a = \frac{a}{1}$, a celo število.) Nasprotni ulomek ulomka $\frac{a}{b}$ je $\frac{-a}{b}$ kar zapišemo kot: $\frac{-a}{b} = - \frac{a}{b}$. Obratni ulomek ulomka $\frac{a}{b}$ je $\frac{b}{a}$ in ga imenujemo inverzni (recipročni, obratni) ulomek. Pišemo: $ \frac{a}{b} = (\frac{b}{a})^{-1}$ in velja: $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$.

Na številski premici ulomek $\frac{a}{b}$ predstavimo tako, da enoto razdelimo na $b$ enakih delov in potem $a$ enakih delov nanesemo desno od 0, če je $a > 0$ in levo od 0, če je $a < 0.$

Računanje z ulomki:

Seštevanje in odštevanje: $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}; \ b, d \neq 0.$$

Množenje: $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}, \ b,d \neq 0.$$ Za seštevanje in množenje veljajo isti osnovni računski zakoni kot pri celih številih.

Deljenje: $$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c},\ b, d \neq 0.$$

Množica racionalnih števil je množica okrajšanih ulomkov: $$\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b}; a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}, D(a,b)=1 \}$$

Racionalna števila lahko seštevamo, odštevamo, množimo in delimo (z racionalnim številom, ki je raličen od 0), rezultat je vedno racionalno število.

Lastnosti osnovnih računskih operacij

Za poljubna racionalna števila a, b in c velja slednje:

Komutativnost seštevanja: $a + b = b + a$

Asociativnost seštevanja: $(a + b) + c = a + (b + c)$

0 je enota za seštevanje: $a + 0 = a$

Vsako celo število $x$ ima natanko eno nasprotno celo število $-x$, tako da velja: $x + (-x) = 0.$

Komutativnost množenja: $x \cdot y = y \cdot x$

Asociativnost množenja: $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$

Distributivnost: $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$

1 je enota za množenje: $1 \cdot x = x$

K vsakemu od 0 različnemu racionalnmu številu $a$ obstaja natanko eno inverzno ali obratno število $a^{-1} \in \mathbb{Q}$, tako da je $a \cdot a^{-1} = 1$.

Decimalna števila

Decimalno število $a_na_{n-1...a_1a_0, b_1b_2...b_m}$, kjer so $a_i$ in $b_j$ števke 0, 1, ...,9, je okrajšava za zapis $$a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + ... + b_110^{-1} + b_210^{-2} + ... + b_m10^{-m}.$$ Vsako racionalno število se da zapisati kot decimalno število, bodisi končno bodisi kot neskončno periodično decimalno število. Pri seštevanju in odštevanju pazimo, da je pri zapisu enega števila pod drugega decimalna vejica pod decimalno vejico. Decimalna števila lahko tudi množimo in delimo Pri množenju dveh števil, kjer ima prvo $n$ decimalk in drugo $m$ decimalk imamo v rezultatu decimalno število z$m+n$ decimalk. Pri deljenju pa deljenec in deljitelj pomnožimo s tako potenco števila 10, da je deljitelj celo število in delimo kot pri celih številih. Pri deljenju lahko dobimo končno ali neskončno decimalno število.

Primer 1

Poenostavimo: $$ \frac{x + 9}{x - 3} + \frac{7x}{x + 3} - \frac{8x^2}{x^2 - 9}.$$

Izraz damo na skupni imenovalec in poračunamo izraz:

$\frac{(x + 9)(x + 3) + 7x(x - 3) - 8x^2}{x^2 - 9} =$ $\frac {x^2 + 3x + 9x + 27 + 7x^2 - 21x - 8x^2}{x^2 - 9} =$ $\frac {-9x + 27}{(x+3)(x-3)} = \frac{-9(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)}= $ $\frac {-9}{x + 3}$

Primer 2

Ulomek $\frac{127}{37}$ zapišimo z decimalno številko.

Števec delimo z imenovalcem in dobimo: $ 3.\overline{432}$.

Primer 3

Število $7.\overline{45}$ zapiši kot ulomek. \begin{align} \nonumber x &= 7,454545... \\ \nonumber 100x &= 745,454545... \\ \nonumber 100x -x &= 745,454545... - 7,454545... \\ \nonumber 99x &= 738 \\ \nonumber x &= \frac{738}{99} = \frac{82}{11} \end{align}