Aritmetično zaporedje

Pojasnjuje vam: Inštruktorica Melisa

Aritmetično zaporedje je zaporedje, v katerem je razlika dveh zaporednih členov konstantna. To razliko imenujemo diferenca in označimo z $d$ .
$a_{n+1} - a_n = d$

Primer:

Splošni člen aritmetičnega zaporedja je:
$a_n = a_1 + d (n - 1)$

Aritmetična sredina poljubnih dveh števil je:
$\frac{a+ b}{2}$

Velja, da je vsak člen aritmetičnega zaporedja (razen prvega) enak aritmetični sredini dveh poljubnih simetrično ležečih členov zaporedja:

Lastnosti aritmetičnega zaporedja

Če je $d > 0$ je zaporedje naraščajoče
Primer: 1, 4, 7, 10, 13,…

Če je $d < 0$ je zaporedje padajoče
Primer: 20, 15, 10, 5, 0, …

Če je $d = 0$ je zaporedje konstantno
Primer: 3, 3, 3, 3, 3, …

Linearna interpolacija

Denimo, da imamo dve števili $a$ in $b$ in želimo med ti dve števili vrniti $r$ števil, da bo to aritmetično zaporedje. Obrazec za diferenco tega zaporedja je potem:
$d = \frac{a+b}{r+1}$ .

Rešeni primeri

Primer

Dopiši manjkajoče člene (mesta s -) aritmetičnega zaporedja 2, -, -, 13, 16, -… ter izračunaj diferenco in nariši graf zaporedja.

Iz zaporednih členov 13 in 16 lahko izračunamo diferenco $d = 16 - 13 = 3$ .
To pomeni, da bo vsak naslednji člen za 3 večji od prejšnjega. Manjkajoči členi so torej:
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
16 + 3 = 19
Dobimo zaporedje 2, 5, 8, 13, 16, 19 …

Narišimo še graf zaporedja:

Primer

Od katerega člena naprej so členi zaporedja $\frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}$ … manjši od 100?

Izračunajmo diferenco in poiščimo splošni člen tega zaporedja: $d = \frac{3}{8} - \frac{1}{2} = \frac{3 - 4}{8} = -\frac{1}{8}$

In izračunajmo splošni člen:
$a_n = a_1 + d(n-1) =$
$=\frac{1}{2} - \frac{1}{8}(n-1) =$
$=\frac{1}{2} - \frac{1}{8}n + \frac{1}{8} =$
$=\frac{5}{8} - \frac{1}{8}n$

Poglejmo si od katerega člena naprej so členi manjši od -50:
$a_n \leq -50$
$\frac{5}{8} - \frac{1}{8}n \leq -50 /\cdot 8$
$5 - n \leq -400$
$-n \leq -400 - 5$
$n \geq 405$