Objavljeno: 22.2.2019

Integrali

Nedoločeni integral

Iskanje nedoločenega integrala neke funkcije je obraten problem kot iskanje odvoda.

Dana je funkcija $f$ , iščemo tako odvedljivo funkcijo $F$, da je

$$F'(x) = f(x)$$

za vse x. Tej funkciji rečemo primitivna funkcija ali nedoločeni integral funkcije $f$.

Nedoločeni integral ni enolično določen, funkciji F lahko prištejemo katerokoli konstanto, saj velja

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x)$

Poleg tega se poljubna dva nedoločena integrala za isto funkcijo $f$ na danem intervalu $I$ lahko razlikujeta le za aditivno konstanto.

Nedoločeni integral zapišemo z integralskim znakom $F(x) = \int f(x) dx$

Funkcijo, ki jo integriramo, v našem primeru $f(x)$, imenujemo integrand

Tabela integralov

Osnovne funkcije in njihovi integrali so navedeni v tabeli:

Funkcija	Integral
$a$	$a \cdot x + C$
$a \cdot x$	$a \frac{x^2}{2} + C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$	$ln{\|x\|}$
$e^x$	$e^x$
$sin(x)$	$-cos(x)$
$cos(x)$	$sin(x)$

Primer

Izračunajmo nedoločeni integral funkcije $sin(x)$.

Zapišemo:

$\int sin(x) dx$

Pogledamo v tabelo in vidimo, da je $sin(x)$ funkcija, ki je tabelirana. Rešitev dobimo tako, da jo samo prepišemo iz desnega stolpca tabele

$\int sin(x) dx = -cos(x) + C$ (ne pozabimo na konstanto $C$).

Uvedba nove spremenljivke

Določeni integral

Na določeni integral lahko gledamo kot na matematično opreacijo, ki jo izvedemo po tem, ko izračunamo nedoločeni integral.
Predstavimo ga lahko z Newton-Leibnitzovo formulo, ki se glasi: $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ pri čemer je $\int f(x)dx = F(x) dx + C$.

Primer izračuna nedoločenega integrala

Izračunajmo $ \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) dx $

Najprej izračunajmo nedoločeni integral funkcije $cos(x)$ in dobimo: $\int cos(x)dx = sin(x)$

Dobili smo torej, da je $F(x) = sin(x)$

Sedaj vstavimo samo še meje v novodobljeno funkcijo po zgornji formuli

$ \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) dx = sin(\pi) - sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$

Primer izračuna integrala in pojasnila dobite na spodnjem videu.

Uporaba integralov

Integrale lahko uporabljamo v razne matematične, fizikalne in druge namene.

Računanje ploščin likov

Določeni integral je tesno povezan s ploščino krivočrtnih likov. Če je $f(x) \geq 0$ na $[a,b]$, je ploščina lika, ki ga na intervalu $[a,b]$ oklepajo krivulja $y=f(x)$, abscisna os in obe ordinati v krajiščih, enaka $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

Če imamo dve funkciji $f$ in $g$ in je $f(x) \geq g(x)$ na $[a,b]$, je ploščina med njima na $[a,b]$ enaka $S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$

Površina rotacijskega telesa

Površino rotacijskega telesa izračunamo po formuli $$P=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx,$$ kjer je $f$ zvezno odvedljiva funkcija, ki je na intervalu $[a,b]$ povsod pozitivna.

Prostornina rotacijskega telesa

Prostornino rotacijskega telesa izračunamo po formuli $$V=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)dx,$$ kjer je $f$ zvezna funkcija, ki je na intervalu $[a,b]$ povsod pozitivna (enaka nič kvečjemu v krajiščih).