navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Integrali

Objavljeno: 22.2.2019

Integrali

Nedoločeni integral

Iskanje nedoločenega integrala neke funkcije je obraten problem kot iskanje odvoda.

Dana je funkcija $f$ , iščemo tako odvedljivo funkcijo $F$, da je

$$F'(x) = f(x)$$

za vse x. Tej funkciji rečemo primitivna funkcija ali nedoločeni integral funkcije $f$.

Nedoločeni integral ni enolično določen, funkciji F lahko prištejemo katerokoli konstanto, saj velja

$(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x)$

Poleg tega se poljubna dva nedoločena integrala za isto funkcijo $f$ na danem intervalu $I$ lahko razlikujeta le za aditivno konstanto.

Nedoločeni integral zapišemo z integralskim znakom $F(x) = \int f(x) dx$

Funkcijo, ki jo integriramo, v našem primeru $f(x)$, imenujemo integrand

Tabela integralov

Osnovne funkcije in njihovi integrali so navedeni v tabeli:

Funkcija Integral
$a$ $a \cdot x + C$
$a \cdot x$ $a \frac{x^2}{2} + C$
$x^n$ $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\frac{1}{x}$ $ln{|x|}$
$e^x$ $e^x$
$sin(x)$ $-cos(x)$
$cos(x)$ $sin(x)$

Primer

Izračunajmo nedoločeni integral funkcije $sin(x)$.

Zapišemo:

$\int sin(x) dx$

Pogledamo v tabelo in vidimo, da je $sin(x)$ funkcija, ki je tabelirana. Rešitev dobimo tako, da jo samo prepišemo iz desnega stolpca tabele

$\int sin(x) dx = -cos(x) + C$ (ne pozabimo na konstanto $C$).

Uvedba nove spremenljivke

Določeni integral

Na določeni integral lahko gledamo kot na matematično opreacijo, ki jo izvedemo po tem, ko izračunamo nedoločeni integral.
Predstavimo ga lahko z Newton-Leibnitzovo formulo, ki se glasi: $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ pri čemer je $\int f(x)dx = F(x) dx + C$.

Primer izračuna nedoločenega integrala

Izračunajmo $ \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) dx $

Najprej izračunajmo nedoločeni integral funkcije $cos(x)$ in dobimo: $\int cos(x)dx = sin(x)$

Dobili smo torej, da je $F(x) = sin(x)$

Sedaj vstavimo samo še meje v novodobljeno funkcijo po zgornji formuli

$ \int_{-\pi}^{\pi} cos(x) dx = sin(\pi) - sin(-\pi) = 0 - 0 = 0$

Primer izračuna integrala in pojasnila dobite na spodnjem videu.

Uporaba integralov

Integrale lahko uporabljamo v razne matematične, fizikalne in druge namene.

Računanje ploščin likov

Določeni integral je tesno povezan s ploščino krivočrtnih likov. Če je $f(x) \geq 0$ na $[a,b]$, je ploščina lika, ki ga na intervalu $[a,b]$ oklepajo krivulja $y=f(x)$, abscisna os in obe ordinati v krajiščih, enaka $$S=\int_{a}^{b}f(x)dx$$

ploščina lika

Če imamo dve funkciji $f$ in $g$ in je $f(x) \geq g(x)$ na $[a,b]$, je ploščina med njima na $[a,b]$ enaka $S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$

ploščina lika

Površina rotacijskega telesa

Površino rotacijskega telesa izračunamo po formuli $$P=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+f'(x)^2}dx,$$ kjer je $f$ zvezno odvedljiva funkcija, ki je na intervalu $[a,b]$ povsod pozitivna.

Prostornina rotacijskega telesa

Prostornino rotacijskega telesa izračunamo po formuli $$V=\pi \int_{a}^{b} f^{2}(x)dx,$$ kjer je $f$ zvezna funkcija, ki je na intervalu $[a,b]$ povsod pozitivna (enaka nič kvečjemu v krajiščih).

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktor Jan

inštruktor meseca

3 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.