navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Naravna in cela števila

Objavljeno: 22.2.2019

Naravna in cela števila

Naravna števila so števila s katerimi štejemo.

Oznaka: $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, ... \}$.

Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v 0 in ga imenujemo pozitivni poltrak številske premice.

Osnovni računski operaciji v množici $\mathbb{N}$ sta seštevanje in množenje.

Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo vsoto $x + y$.

Množenje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo produkt $x \cdot y = \underbrace{x + x + x + ... + x}_{y \ členov}$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij:

Deljivost naravnih števil

Naravno število $y$ deli naravno število $x$ (oznaka: $y | x$) natanko takrat, ko je število x večkratnik števila y. Torej velja: y deli x natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da je $x = k \cdot y$, oziroma $x : y = k$.

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna naravna števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n \neq 0$, velja:

Osnovni izrek o deljenju:

Za poljubni naravni števili $x$ in $y$ $(x > y)$ obstajata natanko določeni števili $k \in \mathbb{N}$ in $r \in \mathbb{N} \cup 0$, da je $x = k \cdot y + r; 0 \leq r < y $.

Kriteriji za deljivost:

Največji skupni delitelj $D(x,y)$ števil $x$ in $y$ je največje število, ki deli števili $x$ in $y$. Če je največji skupni delitelj 1, rečemo, da sta števili tuji.

Najmanjši skupni večkratnik $v(x,y)$ števil $x$ in $y$ je najmanjše število, ki je deljivo s številoma $x$ in $y$.

Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil $x$ in $y$:

$$D(x,y) \cdot v(x,y) = x \cdot y.$$

Evklidov algoritem je postopek za računanje skupnega deljitelja dveh števil $x$ in $y$, ne da bi števili razstavljali na prafaktorje. Temelji na osnovnem izreku o deljenju in predpostavki, da je $D(x,y) = D(x, r)$, če je $x = k \cdot y + r, \ x < y.$

Najprej delimo število $x$ s številom $y$. Če se deljenje izide, potem je $y$ kar največji skupni delitelj danih števil. Če pa se deljenje ne izide, potem delimo število $y$ z ostankom $r$. Če se deljenje izide je r največji delitelj, v nasprotnem primeru pa delimo $r$ z novim ostankom in postopek nadaljujemo, dokler se deljenje ne izide. Največji skupni delitelj števil $x$ in $y$ je zadnji od 0 različen ostanek, ki ga dobimo pri tem zaporednju deljenj.

Primer Evklidovega algoritma:

$D(133, 91) = ?$ \begin{align} \nonumber 133 &= 1 \cdot 91 + 42 \\ \nonumber 91 &= 2 \cdot 42 + 7 \\ \nonumber 42 &= 6 \cdot \underline{7} + 0 \nonumber \end{align} $D(133, 91) = 7 $

Popolna indukcija: Izjava $I(n)$ o naravnih številih je pravilna za $\forall n \in \mathbb{N}$, če velja:

$I(1)$ je pravilna izjava in iz privzetka, da je $I(n)$ pravilna izjava, sledi pravilnost izjave $I(n + 1)$.

Primer uporabe popolne indukcije:

Dokažimo, da za vsako naravno število n velja naslednja formula: $$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n ^2. $$ Najprej preverimo pravilnost zgornje izjave za $n = 1$: $$1 = 1^.2$$ V naslednjem koraku želimo iz privzetka pravilnosti izjave za $n$ pokazati, da formula velja tudi za $n + 1$: \begin{equation} \nonumber n \rightarrow n +1: \\ \nonumber 1 + 3 + ... + (2n -1) + (2n + 1) = n^2 + (2n + 1) = (n +1)^2. \end{equation}

Če množici naravnih števil dodamo število 0 (nič) in negativna cela števila ($-1, -2, -3, ...$) dobimo množico celih števil. Oznaka: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Nasprotno število naravnega števila $x$ je število $-x$.

V množici celih števil je poleg seštevanja in množenja definirana tudi osnovna operacija odštevanje. Za poljubni celi števili $x$ in $y$ je njuna razlika $x-y$ tako celo število $z$, da velja: $y + z = x$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij za poljubna cela števila $x$, $y$ in $z$:

Deljivost celih števil

Celo število $y$, pri čemer je $y$ različen od 0, deli število $x$ (oznaka: $y|x$) natanko takrat, ko obstaja tako celo število $k$, da je $x = k \cdot y.$ Bolj znana oblika zapisa bi bila: $x : y = k.$

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna cela števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n \neq 0$, velja:

Urejenost celih števil

Naravnim številom pravimo tudi pozivitna cela števila. Da je število $x$ pozivitno, zapišemo kot $x > 0.$ Negativna cela števila so števila oblike $-n$, kjer je $n \in \mathbb{N}$. Da je število $x$ negativno zapišemo z $x < 0$.

Vsako od 0 različno število je ali pozitivno ali negativno, za število 0 pa pravimo, da ni niti pozitivno niti negativno število. Na številski premici so točke, ki predstavljajo pozitivna cela števila desno od točke 0, negativna pa levo od 0.

Število $x$ je nenegativno $(x \geq y)$, če je večje ali enako 0 .

Število $x$ je večje od števila $y$ $(x > y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ pozitivno število. Število $x$ je večje ali enako številu $y$ $(x \geq y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ nenegativno število.

Zapisa $x < y$ in $y > x$ sta enakovredna, prav tako tudi zapisa $x \geq y$ in $y \leq x$.

Lastnosti (relacije) urejenosti celih števil:

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktor Uroš

inštruktor meseca

2 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev