Naravna in cela števila

Naravna števila so števila s katerimi štejemo.

Oznaka: ${N} = \\{ 1, 2, 3, 4, 5, ... \\}$.

Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v 0 in ga imenujemo pozitivni poltrak številske premice.

Osnovni računski operaciji v množici ${N}$ sta seštevanje in množenje.

Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo vsoto $x + y$.

Množenje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo produkt $x y = {x + x + x + ... + x}_{y členov}$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij:

Komutativnost seštevanja: $x + y = y + x$
Asociativnost seštevanja: $(x + y) + z = x + (y + z)$
Komutativnost množenja: $x y = y x$
Asociativnost množenja: $(x y) z = x (y z)$
Distributivnost: $x (y + z) = x y + x z$
1 je enota za množenje: $1 x = x$

Deljivost naravnih števil

Naravno število $y$ deli naravno število $x$ (oznaka: $y | x$) natanko takrat, ko je število x večkratnik števila y. Torej velja: y deli x natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da je $x = k y$, oziroma $x : y = k$.

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna naravna števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n 0$, velja:

$(x|y) (y|z) -> x|z$
$ x|z -> (n x)|(n z)$
$(x|y) (x|z) -> x|(y z)$

Osnovni izrek o deljenju:

Za poljubni naravni števili $x$ in $y$ $(x > y)$ obstajata natanko določeni števili $k {N}$ in $r {N} 0$, da je $x = k y + r; 0 r < y $.

Kriteriji za deljivost:

Število je deljivo z 2 (5) natanko takrat, ko so enice deljive z 2 (5). (Torej, ko so enice števila 0, 2, 4, 6 ali 8 oz. 0 ali 5).
Število je deljivo s 3 (9) natanko takrat, ko je vsota števk deljiva s 3 (9).
Število je deljivo z 10 natanko takrat, ko so enice 0.
Število je deljivo s 4 (25) natanko takrat, ko je s 4 (25) deljivo število,

Največji skupni delitelj $D(x,y)$ števil $x$ in $y$ je največje število, ki deli števili $x$ in $y$. Če je največji skupni delitelj 1, rečemo, da sta števili tuji.

Najmanjši skupni večkratnik $v(x,y)$ števil $x$ in $y$ je najmanjše število, ki je deljivo s številoma $x$ in $y$.

Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil $x$ in $y$:

$$D(x,y) v(x,y) = x y.$$

Evklidov algoritem je postopek za računanje skupnega deljitelja dveh števil $x$ in $y$, ne da bi števili razstavljali na prafaktorje. Temelji na osnovnem izreku o deljenju in predpostavki, da je $D(x,y) = D(x, r)$, če je $x = k y + r, \\ x < y.$

Najprej delimo število $x$ s številom $y$. Če se deljenje izide, potem je $y$ kar največji skupni delitelj danih števil. Če pa se deljenje ne izide, potem delimo število $y$ z ostankom $r$. Če se deljenje izide je r največji delitelj, v nasprotnem primeru pa delimo $r$ z novim ostankom in postopek nadaljujemo, dokler se deljenje ne izide. Največji skupni delitelj števil $x$ in $y$ je zadnji od 0 različen ostanek, ki ga dobimo pri tem zaporednju deljenj.

Primer Evklidovega algoritma:

$D(133, 91) = ?$ \\begin{align} \\nonumber 133 &= 1 91 + 42 \\\\ \\nonumber 91 &= 2 42 + 7 \\\\ \\nonumber 42 &= 6 \\underline{7} + 0 \\nonumber \\end{align} $D(133, 91) = 7 $

Popolna indukcija: Izjava $I(n)$ o naravnih številih je pravilna za $\\forall n {N}$, če velja:

$I(1)$ je pravilna izjava in iz privzetka, da je $I(n)$ pravilna izjava, sledi pravilnost izjave $I(n + 1)$.

Primer uporabe popolne indukcije:

Dokažimo, da za vsako naravno število n velja naslednja formula: $$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n ^2. $$ Najprej preverimo pravilnost zgornje izjave za $n = 1$: $$1 = 1^.2$$ V naslednjem koraku želimo iz privzetka pravilnosti izjave za $n$ pokazati, da formula velja tudi za $n + 1$: \\begin{equation} \\nonumber n \\rightarrow n +1: \\\\ \\nonumber 1 + 3 + ... + (2n -1) + (2n + 1) = n^2 + (2n + 1) = (n +1)^2. \\end{equation}

Če množici naravnih števil dodamo število 0 (nič) in negativna cela števila ($-1, -2, -3, ...$) dobimo množico celih števil. Oznaka: ${Z} = \\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\\}$. Nasprotno število naravnega števila $x$ je število $-x$.

V množici celih števil je poleg seštevanja in množenja definirana tudi osnovna operacija odštevanje. Za poljubni celi števili $x$ in $y$ je njuna razlika $x-y$ tako celo število $z$, da velja: $y + z = x$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij za poljubna cela števila $x$, $y$ in $z$:

Komutativnost seštevanja: $x + y = y + x$
Asociativnost seštevanja: $(x + y) + z = x + (y + z)$
0 je enota za seštevanje: $x + 0 = x$
Vsako racionalno število $x$ ima natanko eno nasprotno racionalno število $-x$,
Komutativnost množenja: $a b = b a$
Asociativnost množenja: $(a b) c = a (b c)$
Distributivnost: $a (b + c) = a b + a c$
1 je enota za množenje: $1 a = a$

Deljivost celih števil

Celo število $y$, pri čemer je $y$ različen od 0, deli število $x$ (oznaka: $y|x$) natanko takrat, ko obstaja tako celo število $k$, da je $x = k y.$ Bolj znana oblika zapisa bi bila: $x : y = k.$

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna cela števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n 0$, velja:

$(x|y) (y|z) -> x|z$
$ x|z -> (n x)|(n z)$
$(x|y) (x|z) -> x|(y z)$

Urejenost celih števil

Naravnim številom pravimo tudi pozivitna cela števila. Da je število $x$ pozivitno, zapišemo kot $x > 0.$ Negativna cela števila so števila oblike $-n$, kjer je $n {N}$. Da je število $x$ negativno zapišemo z $x < 0$.

Vsako od 0 različno število je ali pozitivno ali negativno, za število 0 pa pravimo, da ni niti pozitivno niti negativno število. Na številski premici so točke, ki predstavljajo pozitivna cela števila desno od točke 0, negativna pa levo od 0.

Število $x$ je nenegativno $(x y)$, če je večje ali enako 0 .

Število $x$ je večje od števila $y$ $(x > y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ pozitivno število. Število $x$ je večje ali enako številu $y$ $(x y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ nenegativno število.

Zapisa $x < y$ in $y > x$ sta enakovredna, prav tako tudi zapisa $x y$ in $y x$.

Lastnosti (relacije) urejenosti celih števil: