navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Naravna in cela števila

Objavljeno: 3.10.2019

Naravna in cela števila

Naravna števila so števila s katerimi štejemo.

Oznaka: ${N} = \\{ 1, 2, 3, 4, 5, ... \\}$.

Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v 0 in ga imenujemo pozitivni poltrak številske premice.

Osnovni računski operaciji v množici ${N}$ sta seštevanje in množenje.

Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo vsoto $x + y$.

Množenje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo produkt $x y = {x + x + x + ... + x}_{y členov}$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij:

Deljivost naravnih števil

Naravno število $y$ deli naravno število $x$ (oznaka: $y | x$) natanko takrat, ko je število x večkratnik števila y. Torej velja: y deli x natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da je $x = k y$, oziroma $x : y = k$.

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna naravna števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n 0$, velja:

Osnovni izrek o deljenju:

Za poljubni naravni števili $x$ in $y$ $(x > y)$ obstajata natanko določeni števili $k {N}$ in $r {N} 0$, da je $x = k y + r; 0 r < y $.

Kriteriji za deljivost:

Največji skupni delitelj $D(x,y)$ števil $x$ in $y$ je največje število, ki deli števili $x$ in $y$. Če je največji skupni delitelj 1, rečemo, da sta števili tuji.

Najmanjši skupni večkratnik $v(x,y)$ števil $x$ in $y$ je najmanjše število, ki je deljivo s številoma $x$ in $y$.

Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil $x$ in $y$:

$$D(x,y) v(x,y) = x y.$$

Evklidov algoritem je postopek za računanje skupnega deljitelja dveh števil $x$ in $y$, ne da bi števili razstavljali na prafaktorje. Temelji na osnovnem izreku o deljenju in predpostavki, da je $D(x,y) = D(x, r)$, če je $x = k y + r, \\ x < y.$

Najprej delimo število $x$ s številom $y$. Če se deljenje izide, potem je $y$ kar največji skupni delitelj danih števil. Če pa se deljenje ne izide, potem delimo število $y$ z ostankom $r$. Če se deljenje izide je r največji delitelj, v nasprotnem primeru pa delimo $r$ z novim ostankom in postopek nadaljujemo, dokler se deljenje ne izide. Največji skupni delitelj števil $x$ in $y$ je zadnji od 0 različen ostanek, ki ga dobimo pri tem zaporednju deljenj.

Primer Evklidovega algoritma:

$D(133, 91) = ?$ \\begin{align} \\nonumber 133 &= 1 91 + 42 \\\\ \\nonumber 91 &= 2 42 + 7 \\\\ \\nonumber 42 &= 6 \\underline{7} + 0 \\nonumber \\end{align} $D(133, 91) = 7 $

Popolna indukcija: Izjava $I(n)$ o naravnih številih je pravilna za $\\forall n {N}$, če velja:

$I(1)$ je pravilna izjava in iz privzetka, da je $I(n)$ pravilna izjava, sledi pravilnost izjave $I(n + 1)$.

Primer uporabe popolne indukcije:

Dokažimo, da za vsako naravno število n velja naslednja formula: $$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n ^2. $$ Najprej preverimo pravilnost zgornje izjave za $n = 1$: $$1 = 1^.2$$ V naslednjem koraku želimo iz privzetka pravilnosti izjave za $n$ pokazati, da formula velja tudi za $n + 1$: \\begin{equation} \\nonumber n \\rightarrow n +1: \\\\ \\nonumber 1 + 3 + ... + (2n -1) + (2n + 1) = n^2 + (2n + 1) = (n +1)^2. \\end{equation}

Če množici naravnih števil dodamo število 0 (nič) in negativna cela števila ($-1, -2, -3, ...$) dobimo množico celih števil. Oznaka: ${Z} = \\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\\}$. Nasprotno število naravnega števila $x$ je število $-x$.

V množici celih števil je poleg seštevanja in množenja definirana tudi osnovna operacija odštevanje. Za poljubni celi števili $x$ in $y$ je njuna razlika $x-y$ tako celo število $z$, da velja: $y + z = x$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij za poljubna cela števila $x$, $y$ in $z$:

Deljivost celih števil

Celo število $y$, pri čemer je $y$ različen od 0, deli število $x$ (oznaka: $y|x$) natanko takrat, ko obstaja tako celo število $k$, da je $x = k y.$ Bolj znana oblika zapisa bi bila: $x : y = k.$

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna cela števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n 0$, velja:

Urejenost celih števil

Naravnim številom pravimo tudi pozivitna cela števila. Da je število $x$ pozivitno, zapišemo kot $x > 0.$ Negativna cela števila so števila oblike $-n$, kjer je $n {N}$. Da je število $x$ negativno zapišemo z $x < 0$.

Vsako od 0 različno število je ali pozitivno ali negativno, za število 0 pa pravimo, da ni niti pozitivno niti negativno število. Na številski premici so točke, ki predstavljajo pozitivna cela števila desno od točke 0, negativna pa levo od 0.

Število $x$ je nenegativno $(x y)$, če je večje ali enako 0 .

Število $x$ je večje od števila $y$ $(x > y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ pozitivno število. Število $x$ je večje ali enako številu $y$ $(x y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ nenegativno število.

Zapisa $x < y$ in $y > x$ sta enakovredna, prav tako tudi zapisa $x y$ in $y x$.

Lastnosti (relacije) urejenosti celih števil:

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktor Jan

inštruktor meseca

3 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.