Naravna in cela števila

Naravna števila so števila s katerimi štejemo.

Oznaka: $\mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, ... \}$.

Vsa naravna števila ležijo na poltraku z izhodiščem v 0 in ga imenujemo pozitivni poltrak številske premice.

Osnovni računski operaciji v množici $\mathbb{N}$ sta seštevanje in množenje.

Seštevanje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo vsoto $x + y$.

Množenje: Poljubnima naravnima številoma $x$ in $y$ priredimo produkt $x \cdot y = \underbrace{x + x + x + ... + x}_{y \ členov}$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij:

  • Komutativnost seštevanja: $x + y = y + x$
  • Asociativnost seštevanja: $(x + y) + z = x + (y + z)$
  • Komutativnost množenja: $x \cdot y = y \cdot x$
  • Asociativnost množenja: $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$
  • Distributivnost: $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$
  • 1 je enota za množenje: $1 \cdot x = x$

Deljivost naravnih števil

Naravno število $y$ deli naravno število $x$ (oznaka: $y | x$) natanko takrat, ko je število x večkratnik števila y. Torej velja: y deli x natanko takrat, ko obstaja tako naravno število k, da je $x = k \cdot y$, oziroma $x : y = k$.

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna naravna števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n \neq 0$, velja:

  • $(x|y) \wedge (y|z) \Longrightarrow x|z$
  • $ x|z \Longrightarrow (n \cdot x)|(n \cdot z)$
  • $(x|y) \wedge (x|z) \Longrightarrow x|(y \pm z)$

Osnovni izrek o deljenju:

Za poljubni naravni števili $x$ in $y$ $(x > y)$ obstajata natanko določeni števili $k \in \mathbb{N}$ in $r \in \mathbb{N} \cup 0$, da je $x = k \cdot y + r; 0 \leq r < y $.

Kriteriji za deljivost:

  • Število je deljivo z 2 (5) natanko takrat, ko so enice deljive z 2 (5). (Torej, ko so enice števila 0, 2, 4, 6 ali 8 oz. 0 ali 5).
  • Število je deljivo s 3 (9) natanko takrat, ko je vsota števk deljiva s 3 (9).
  • Število je deljivo z 10 natanko takrat, ko so enice 0.
  • Število je deljivo s 4 (25) natanko takrat, ko je s 4 (25) deljivo število,
  • ki ga tvorita v istem vrstnem redu zadnji dve mesti prvotnega števila.

Največji skupni delitelj $D(x,y)$ števil $x$ in $y$ je največje število, ki deli števili $x$ in $y$. Če je največji skupni delitelj 1, rečemo, da sta števili tuji.

Najmanjši skupni večkratnik $v(x,y)$ števil $x$ in $y$ je najmanjše število, ki je deljivo s številoma $x$ in $y$.

Zveza med največjim skupnim deliteljem in najmanjšim skupnim večkratnikom števil $x$ in $y$:

$$D(x,y) \cdot v(x,y) = x \cdot y.$$

Evklidov algoritem je postopek za računanje skupnega deljitelja dveh števil $x$ in $y$, ne da bi števili razstavljali na prafaktorje. Temelji na osnovnem izreku o deljenju in predpostavki, da je $D(x,y) = D(x, r)$, če je $x = k \cdot y + r, \ x < y.$

Najprej delimo število $x$ s številom $y$. Če se deljenje izide, potem je $y$ kar največji skupni delitelj danih števil. Če pa se deljenje ne izide, potem delimo število $y$ z ostankom $r$. Če se deljenje izide je r največji delitelj, v nasprotnem primeru pa delimo $r$ z novim ostankom in postopek nadaljujemo, dokler se deljenje ne izide. Največji skupni delitelj števil $x$ in $y$ je zadnji od 0 različen ostanek, ki ga dobimo pri tem zaporednju deljenj.

Primer Evklidovega algoritma:

$D(133, 91) = ?$ \begin{align} \nonumber 133 &= 1 \cdot 91 + 42 \\ \nonumber 91 &= 2 \cdot 42 + 7 \\ \nonumber 42 &= 6 \cdot \underline{7} + 0 \nonumber \end{align} $D(133, 91) = 7 $

Popolna indukcija: Izjava $I(n)$ o naravnih številih je pravilna za $\forall n \in \mathbb{N}$, če velja:

$I(1)$ je pravilna izjava in iz privzetka, da je $I(n)$ pravilna izjava, sledi pravilnost izjave $I(n + 1)$.

Primer uporabe popolne indukcije:

Dokažimo, da za vsako naravno število n velja naslednja formula: $$ 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n ^2. $$ Najprej preverimo pravilnost zgornje izjave za $n = 1$: $$1 = 1^.2$$ V naslednjem koraku želimo iz privzetka pravilnosti izjave za $n$ pokazati, da formula velja tudi za $n + 1$: \begin{equation} \nonumber n \rightarrow n +1: \\ \nonumber 1 + 3 + ... + (2n -1) + (2n + 1) = n^2 + (2n + 1) = (n +1)^2. \end{equation}

Če množici naravnih števil dodamo število 0 (nič) in negativna cela števila ($-1, -2, -3, ...$) dobimo množico celih števil. Oznaka: $\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Nasprotno število naravnega števila $x$ je število $-x$.

V množici celih števil je poleg seštevanja in množenja definirana tudi osnovna operacija odštevanje. Za poljubni celi števili $x$ in $y$ je njuna razlika $x-y$ tako celo število $z$, da velja: $y + z = x$.

Lastnosti osnovnih računskih operacij za poljubna cela števila $x$, $y$ in $z$:

  • Komutativnost seštevanja: $x + y = y + x$
  • Asociativnost seštevanja: $(x + y) + z = x + (y + z)$
  • 0 je enota za seštevanje: $x + 0 = x$
  • Vsako racionalno število $x$ ima natanko eno nasprotno racionalno število $-x$,
  • tako da velja: $a + (-a) = 0.$
  • Komutativnost množenja: $a \cdot b = b \cdot a$
  • Asociativnost množenja: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
  • Distributivnost: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
  • 1 je enota za množenje: $1 \cdot a = a$

Deljivost celih števil

Celo število $y$, pri čemer je $y$ različen od 0, deli število $x$ (oznaka: $y|x$) natanko takrat, ko obstaja tako celo število $k$, da je $x = k \cdot y.$ Bolj znana oblika zapisa bi bila: $x : y = k.$

Lastnosti deljivosti celih števil:

Za poljubna cela števila $x,y,z$ in $n$, pri čemer $x, n \neq 0$, velja:

  • $(x|y) \wedge (y|z) \Longrightarrow x|z$
  • $ x|z \Longrightarrow (n \cdot x)|(n \cdot z)$
  • $(x|y) \wedge (x|z) \Longrightarrow x|(y \pm z)$

Urejenost celih števil

Naravnim številom pravimo tudi pozivitna cela števila. Da je število $x$ pozivitno, zapišemo kot $x > 0.$ Negativna cela števila so števila oblike $-n$, kjer je $n \in \mathbb{N}$. Da je število $x$ negativno zapišemo z $x < 0$.

Vsako od 0 različno število je ali pozitivno ali negativno, za število 0 pa pravimo, da ni niti pozitivno niti negativno število. Na številski premici so točke, ki predstavljajo pozitivna cela števila desno od točke 0, negativna pa levo od 0.

Število $x$ je nenegativno $(x \geq y)$, če je večje ali enako 0 .

Število $x$ je večje od števila $y$ $(x > y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ pozitivno število. Število $x$ je večje ali enako številu $y$ $(x \geq y)$ natanko takrat, ko je $x - y$ nenegativno število.

Zapisa $x < y$ in $y > x$ sta enakovredna, prav tako tudi zapisa $x \geq y$ in $y \leq x$.

Lastnosti (relacije) urejenosti celih števil:

  • Refleksivnost: $x \geq x$
  • Antisimetričnost: $(x \geq y) \wedge (y \geq x) \Rightarrow x = y$
  • Tranzitivnost:$(x \geq y) \wedge (y \geq z) \Rightarrow x \geq z$

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

Hitri kontakt

031 606 666

Inštruktor meseca

Inštruktorica Nina

inštruktor meseca

3 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev