Racionalna funkcija

Racionalna funkcija je vsaka funkcija, ki jo lahko zapišemo v obliki $$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$$ kjer je $p(x)$ polinom poljubne stopnje in $q(x)$ polinom katerekoli stopnje razen 0.

Ničla racionalne funkcije

Ničla racionalne funkcije je tam, kjer je polinom $p(x)$ enak nič. Stopnja ničle je odvisna od tega kolikšna je potenca polinoma v obliki za ničle.
Primer: pri enačbi $(x-3)^2 = 0$ je ničla enaka $3$ in stopnja ničle enaka $2$. Iščemo torej vrednost eksponenta, da dobimo stopnjo ničle. Pomembna je sodost/lihost te ničle. Lihe ničle so vse ničle stopenj $1,3,5,7, ...$, sode ničle pa so vse ničle stopnenj $2,4,6,8,10, ...$.

Pol racionalne funkcije

Pol racionalne funkcije je tam, kjer je polinom $q(x)$ enak nič. Stopnjo polinoma določimo na enak način kot določimo stopnjo ničle. Enako velja sodi in lihi pol.

Asimptota racionalne funkcije

Asimptoto dobimo tako, da delimo polinom $p(x)$ s polinomom $q(x)$. Rezultat je spet polinom, ki predstavlja asimptoto, ki se ji bo graf približeval v neskončnosti.
Če pri deljenju dobimo ostanek, ki je polinom stopnje večje ali enake 1, bo graf funkcije sekal asimptoto pri vrednosti, kjer je ta polinom enak nič.

Predznak racionalne funkcije

Predznak določimo tako, da najprej ugotovio katere stopnje so ničle in poli in vse te vrednosti narišemo na številsko premico. Izberemo si eno naključno vrednosti in določimo kakšnega predznaka je funkcija pri tej vrednosti. Nato se pomikamo po številskem traku in če gremo čez sodi pol ali ničlo, predznaka ne spremenimo, če gremo pa čez lihi pol/ničlo pa predznak spremenimo.

Primer

Oglejmo si izris racionalne funkcije na primeru:

Ugotovi ničle, pole, asimptoto, ter nariši graf funkcije $f(x)=\frac{x^2+4x+3}{x^2-4x+4}$.

Najprej določimo ničle, tako da enačimo števec racionalne funkcije z nič:

$x^2+4x+3=0$

Razcepimo po Vietovem pravilu

$(x+3)(x+1)=0$

Dobili smo torej ničli $x_1=-3$ in $x_2=-1$.

Potenca ničle je enaka 1, torej sta obe ničli lihi.

Določimo pole, tako da enačimo imenovalec racionalne funkcije z 0.

$x^2-4x+4=0$

Razcepimo po Vietovem pravilu in dobimo:

$(x-2)(x-2)=0$

Poenostavimo:

$(x-2)^2=0$

Dobili smo torej pol pri $x=2$, ki pa je druge stopnje (sodi pol).

Izračunajmo začetno vrednost, tako da vstavimo v funkcijo $x=0$.

Dobimo:

$f(0)=\frac{0^2+4\cdot0+3}{0^2-0+4} = \frac{3}{4}$.

Dobili smo torej pozitivno vrednost

Oglejmo si predznak naše funkcije na številski premici. Iz začetne vrednosti vemo, da bo graf pri $x=0$ pozitiven. Upoštevamo sodost in lihost polov ter dobimo.

Ponovimo: Pri prehodu čez sodi pol ali ničlo, funkcija ohranja predznak, pri prehodu čez lihi pol ali ničlo pa zamenja predznak. 2 je sodi pol, -1 in -3 pa sta lihi ničli.

Izračunajmo asimptoto tako da delimo polinoma med seboj:

$q(x)=(x^2+4x+3):(x^2-4x+4)=1$
$-(x^2-4x+4)$
$8x-1$

Dobili smo asimptoto $y=1$ in ostanek $8x-1$. Če ostanek enačimo z 0, dobimo, da graf seka asimptoto pri točki $x=\frac{1}{8}$.

Imamo dovolj podatkov, da funkcijo tudi narišemo: