inštrukcije > matematika > Zaporedja
Objavljeno: 19.2.2020
Zaporedje je preslikava iz naravnih števil v realna. Torej poljubnemu naravnemu številu , pripada realno število .
Zaporedje je lahko podano na več različnih načinov:
S splošnim členom :
Primer:
Rekurzivno: Podan je prvi ali nekaj členov zaporedja in pravilo za računanje naslednjega člena iz prejšnjega
Primer: Fibonaccijevo zaporedje
Zaporedje narašča, ko je za vsako naravno število .
Primer: 1, 2, 3, 4,…
Zaporedje pada, ko je za vsako naravno število .
Primer: 0, -1, -2, -3, …
Zaporedje je konstantno, ko je za vsako naravno število .
Izračunamo
tako, da v splošni člen vstavimo .
Vstavimo
in v formulo:
Ugotovi, ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče.
Izračunamo
Vstavimo in v formulo:
Sedaj moramo še premisliti ali je to število pozitivno ali negativno.
Števec je negativen, v imenovalcu pa dobimo . To je vedno pozitivno število, saj v vstavljamo le naravna števila. Rezultat je torej negativen (saj delimo negativno število s pozitivnim), kar pomeni, da zaporedje pada.
Zaporedje je lahko navzgor omejeno, navzdol omejeno, omejeno na obe strani ali pa neomejeno.
Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja tako število , da je za vsa naravna števila . je zgornja meja zaporedja.
To pomeni, da lahko najdemo tako število, da so vsi členi zaporedja manjši ali enaki temu številu.
Primer: … To zaporedje je navzgor omejeno z 1.
Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja tako število , da je za vsa naravna števila . je spodnja meja zaporedja.
To pomeni, da lahko najdemo tako število, da so vsi členi zaporedja večji ali enaki temu številu.
Primer: … To je zaporedje navzdol omejeno z 1.
Zaporedje je omejeno, če obstajata taki števili in , da je za vsa naravna števila .
To pomeni, da je zaporedje navzdol in navzgor omejeno.
Primer … To zaporedje je navzdol omejeno z 0 in navzgor omejeno z 1.
Pokaži, da je zaporedje omejeno.
Naprej izračunamo nekaj členov zaporedja:
V prejšnjem rešenem primeru smo pokazali, da je to zaporedje padajoče. Vidimo, da se zaporedje bliža 1. Pokažimo, da je 9 zgornja meja zaporedja (saj so vsi členi manjši od 9 - začetnega člena) in, da je 1 spodnja meja zaporedja (saj so vsi členi večji od 1).
9 je zgornja meja:
pomnožimo z , kar lahko storimo, ker je naravno število in zato pozitivno število.
delimo z
Dobili smo, da je večje ali enako 1. To drži, saj je naravno število.
1 je spodnja meja:
Dobili smo izraz, ki je pravilen, zato je 1 res spodjnja meja. Če bi dobili nekaj kar ne drži (npr. 5 < 0 ), bi to pomenilo, da 1 ni spodnja meja.
Ali je zaporedje padajoče? Koliko členov zaporedja je na intervalu [?
Prvo poglejmo ali je zaporedje padajoče:
, saj je števec negativec, imenovalec pa je pozitiven za vsa naravna števila. Zaporedje je torej padajoče.
Sedaj si poglejmo za katere indekse se nahajajo členi tega zaporedja na intervalu [].
Najprej izračunajmo, za katere indekse so členi zaporedja večji od .
Zdaj pa izračunajmo še, za katere indekse so členi zaporedja manjši so .
Torej na tem intervalu so od vključno 10. člena do 25. člena. Teh členov je 16.
Oglejmo si še graf tega zaporedja za lažjo predstavo: