navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Zaporedja

Objavljeno: 19.2.2020

Zaporedja

Pojasnjuje vam: Inštruktorica Melisainštruktor Melisa

Zaporedje je preslikava iz naravnih števil v realna. Torej poljubnemu naravnemu številu nn, pripada realno število ana_n.
nann \mapsto a_n

Zaporedje je lahko podano na več različnih načinov:

  1. S splošnim členom ana_n: an=f(n)a_n = f(n)

    Primer: an=3n1a_n = 3n - 1

  2. Navedenih nekaj členov zaporedja
    Primer 2, 5, 8, 11, …
  3. Z grafom:
    Primer:

    POZOR: graf je narisan samo na desni strani, saj so originali naravna števila. Točk ne povežemo.
  4. Rekurzivno: Podan je prvi ali nekaj členov zaporedja in pravilo za računanje naslednjega člena iz prejšnjega

    Primer: Fibonaccijevo zaporedje


Lastnosti zaporedja

1. Naraščanje, padanje

Zaporedje narašča, ko je an+1ana_{n+1} \geq a_n za vsako naravno število nn.
Primer: 1, 2, 3, 4,…

Zaporedje pada, ko je an+1ana_{n+1} \leq a_n za vsako naravno število nn.
Primer: 0, -1, -2, -3, …

Zaporedje je konstantno, ko je an+1=ana_{n+1} = a_n za vsako naravno število nn.

Postopek

  1. Izračunamo

    an+1a_{n+1} tako, da v splošni člen ana_n vstavimo n+1n+1.

  2. Vstavimo

    an+1a_{n+1} in ana_n v formulo:

    an+1ana_{n+1} - a_n

  3. Če dobimo pozitivno število, zaporedje narašča, če pa dobimo negativno število, zaporedje pada.

Primer

Ugotovi, ali je zaporedje an=n+8na_n = \frac{n+8}{n} naraščajoče ali padajoče.

Izračunamo an+1=n+9n+1a_{n+1} = \frac{n+9}{n+1}

Vstavimo an+1a_{n+1} in ana_n v formulo:

an+1an=a_{n+1} - a_n =

=n+9n+1n+8n==\frac{n+9}{n+1} - \frac{n+8}{n} =

=(n+9)n(n+8)(n+1)(n)(n+1)==\frac{(n+9)n - (n+8)(n+1)}{(n)(n+1)} =

=n2+9nn29n8n(n+1)==\frac{n^2 + 9n - n^2 - 9n - 8}{n(n+1)} =

=8n(n+1)=\frac{-8}{n(n+1)}

Sedaj moramo še premisliti ali je to število pozitivno ali negativno.
Števec je negativen, v imenovalcu pa dobimo n(n+1)n(n+1). To je vedno pozitivno število, saj v nn vstavljamo le naravna števila. Rezultat je torej negativen (saj delimo negativno število s pozitivnim), kar pomeni, da zaporedje pada.

2. Omejenost

Zaporedje je lahko navzgor omejeno, navzdol omejeno, omejeno na obe strani ali pa neomejeno.

Zaporedje je navzgor omejeno, če obstaja tako število MM, da je anMa_n \leq M za vsa naravna števila nn. MM je zgornja meja zaporedja.
To pomeni, da lahko najdemo tako število, da so vsi členi zaporedja manjši ali enaki temu številu.
Primer: 1,12,14,181, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8} … To zaporedje je navzgor omejeno z 1.

Zaporedje je navzdol omejeno, če obstaja tako število MM, da je anMa_n \geq M za vsa naravna števila nn. MM je spodnja meja zaporedja.
To pomeni, da lahko najdemo tako število, da so vsi členi zaporedja večji ali enaki temu številu.
Primer:1,2,3,4,5, 1, 2, 3, 4, 5, … To je zaporedje navzdol omejeno z 1.

Zaporedje je omejeno, če obstajata taki števili mm in MM, da je manMm \leq a_n \leq M za vsa naravna števila nn.
To pomeni, da je zaporedje navzdol in navzgor omejeno.
Primer 1,15,125,1125, 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \frac{1}{125},… To zaporedje je navzdol omejeno z 0 in navzgor omejeno z 1.

Primer

Pokaži, da je zaporedje an=n+8na_n = \frac{n+8}{n} omejeno.

Naprej izračunamo nekaj členov zaporedja:

a1=91=9a_1 = \frac{9}{1} = 9

a2=102=5a_2 = \frac{10}{2} = 5

a3=113=3,66a_3 = \frac{11}{3} = 3,66 \cdots

a100=108100=1,08a_{100} = \frac{108}{100} = 1,08

a1000=10081000=1,008a_{1000} = \frac{1008}{1000} = 1,008

V prejšnjem rešenem primeru smo pokazali, da je to zaporedje padajoče. Vidimo, da se zaporedje bliža 1. Pokažimo, da je 9 zgornja meja zaporedja (saj so vsi členi manjši od 9 - začetnega člena) in, da je 1 spodnja meja zaporedja (saj so vsi členi večji od 1).

9 je zgornja meja:

an9a_n \leq 9
n+8n9\frac{n+8}{n} \leq 9 pomnožimo z nn, kar lahko storimo, ker je nn naravno število in zato pozitivno število.
n+89nn+8 \leq 9n
8n8 -8n \leq -8 delimo z 8-8
n1n \geq 1
Dobili smo, da je nn večje ali enako 1. To drži, saj je nn naravno število.

1 je spodnja meja:
an1a_n \geq 1
n+8n1\frac{n+8}{n} \geq 1
n+8nn + 8 \geq n
80 8 \geq 0
Dobili smo izraz, ki je pravilen, zato je 1 res spodjnja meja. Če bi dobili nekaj kar ne drži (npr. 5 < 0 ), bi to pomenilo, da 1 ni spodnja meja.

Primer

Ali je zaporedje an=n+4na_n = \frac{n+4}{n} padajoče? Koliko členov zaporedja je na intervalu [2925,75]\frac{29}{25}, \frac{7}{5}]?

Prvo poglejmo ali je zaporedje padajoče:
an+1an=a_{n+1}- a_n =
=n+5n+1n+4n==\frac{n+5}{n+1} - \frac{n+4}{n} =
=(n+5)n(n+4)(n+1))n(n+1)==\frac{(n+5)n - (n+4)(n+1))}{n(n+1)} =
=n2+5n(n2+4n+n+4)n(n+1)==\frac{n^2 + 5n - (n^2+4n + n + 4)}{n(n+1)} =
=4n(n+1)<=0=\frac{-4}{n(n+1)} <=0 , saj je števec negativec, imenovalec pa je pozitiven za vsa naravna števila. Zaporedje je torej padajoče.

Sedaj si poglejmo za katere indekse nn se nahajajo členi tega zaporedja na intervalu [2925,75\frac{29}{25}, \frac{7}{5}].
Najprej izračunajmo, za katere indekse so členi zaporedja večji od 2925\frac{29}{25}.
2925an\frac{29}{25} \leq a_n
2925n+4n\frac{29}{25} \leq \frac{n+4}{n}
29n25(n+4)29n \leq 25(n+4)
29n25n+10029n \leq 25n + 100
4n1004n \leq 100
n25n \leq 25

Zdaj pa izračunajmo še, za katere indekse so členi zaporedja manjši so 75\frac{7}{5}.
an75a_n \leq \frac{7}{5}
n+4n75\frac{n+4}{n} \leq \frac{7}{5}
5n+207n5n+20 \leq 7n
2n20-2n\leq -20
n10n\geq 10

Torej na tem intervalu so od vključno 10. člena do 25. člena. Teh členov je 16.
Oglejmo si še graf tega zaporedja za lažjo predstavo:

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

sortiranje
filter
počisti

Pri vas doma: Online: Spol: Avto:

Razvrsti po:
nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktorica Anja

inštruktor meseca

5 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.

Zapri okno