navigacija inštrukcije

inštrukcije > matematika > Odvod in tabela odvodov

Objavljeno: 22.2.2019

Odvod in tabela odvodov

Odvod predstavlja spremembo funkcije pri spremembi njenega argumenta. Opisuje najboljšo linearno aproksimacijo funkcije v bližini vrednosti funkcije z nekim argumentom.

Odvod lahko definiramo kot limito:
$f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ V praksi pa nam odvod v neki točki predstavlja smerni koeficient tangente na krivuljo.
odvod in tangenta
Če označimo funkcijo x-a z $f(x)$, potem njen odvod lahko označujemo kot $f'(x)$ ali $(f(x))'$.

Pravila za računanje z odvodi

Odvod vsote: $(f(x) + g(x))' = f'(x)+ g'(x)$

Odvod produkta: $(f(x) * g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Odvod količnika: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

Odvod konstante je 0: $f'(C) = 0$

Odvod potenčne funkcije: $(x^n)' = n x^{n-1}$

Odvod eksponentne funkcije: $(e^x)' = e^x$

Odvod logaritemske funkcije: $(ln |x|)' = \frac{1}{x}$

Odvodi trigonometričnih funkcij:
odvodi trigonometričnih funkcij
Odvod sestavljene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Odvodi elementarnih funkcij

Opis funkcije Funkcija Odvod
Konstanta $C$ $0$
Linearna funkcija $kx+ n$ $k$
Potenčna funkcija $x^n$ $nx^{n-1}$
Koren $\sqrt{x}$ $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
Eksponentna funkcija $e^x$ $e^x$
Eksponentna funkcija $a^x$ $a^x \cdot ln(a)$
Naravni logaritem $ln(x)$ $\frac{1}{x}$
Logaritemska funkcija $log(x)$ $\frac{1}{x \cdot ln(a)}$

Primeri

$x^3$

Uporabimo pravilo: $(x^n)' = n x^{n-1}$

$(x^3)' = 3 x^{3-1} = 3x^2$


$5x^4$

Konstantno ($5$) lahko izpostavimo izven odvoda in odvajamo samo $x^4$, podobno kot v prejšnji nalogi.

$(5x^4)' = 5(x^4)' = 5 \cdot 4 x^3 = 20 x^3$

Odvod produkta funkcij


Primer: odvajaj funkcijo $sin(x) \cdot ln(x)$

Uporabimo pravilo za odvajanje produkta: $(f(x) * g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Posamezna odvoda izračunajmo posebej

$(sin(x))' = cos(x)$ (po tabeli trigonometričnih odvodov)

$(ln(x))' = \frac{1}{x}$

Vstavimo v enačbo in dobimo:

$cos(x) \cdot ln(x) + \frac{sin(x)}{x}$

Odvod kvocienta funkcij


Primer: odvajaj funkcijo $\frac{sin(x)}{x}$

Uporabimo pravilo za odvajanje kvocienta: $(\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^2(x)}$

Posamezne odvode lahko izračunamo posebej.

$(sin(x))' = cos(x)$ (po tabeli trigonometričnih odvodov)

$(x)' = 1$ (glede na pravilo $(x^n)' = n x^{n-1}$, kjer je n=1)

Dobimo:

$(\frac{sin(x)}{x})' = \frac{cos(x)\cdot x + sin(x)}{x^2}$

Odvod sestavljene funkcije


Primer: odvajaj funkcijo $ln(sin(x))$

Uporabimo pravilo za odvod sestavljene funkcije: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Po tabeli je odvod $ln(x)$ je $\frac{1}{x}$, odvod $sin(x)$ je $cos(x)$

Dobimo:

$\frac{1}{sin(x)} \cdot cos(x) = ctg(x)$

Preberite še:

Potrebujete dodatne informacije? Pomagajo vam lahko inštruktorji matematike.

Razvrsti po:

nalagam inštruktorje

Hitri kontakt

031 606 666


Inštruktor meseca

Inštruktor Jan

inštruktor meseca

3 prejetih referenc

zvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda mesecazvezda meseca

Lokacije

interaktiven zemljevid inštruktorjev
Poiščite mi inštruktorja

Inštruktorja poiščemo namesto vas

Da bi bil postopek iskanja vašega inštruktorja čim bolj učinkovit, vas prosimo za nekaj podatkov.