inštrukcije > matematika > Geometrijsko zaporedje

Objavljeno: 28.3.2020

Geometrijsko zaporedje

Pojasnjuje vam: Inštruktorica Melisa

Geometrijsko zaporedje je zaporedje, v katerem je količnik dveh zaporednih členov konstanten. Ta količnik imenujemo količnik ali kvocient geometrijskega zaporedja in označimo s $q$ (ali $k$ ).

Velja torej: $a_{n+1} = a_n\cdot q$

Primer:

Splošni člen geometrijskega zaporedja je:
$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$

Geometrijska sredina dve poljubnih števil je:
$\sqrt{ab}$

Pri geometrijskih zaporedjih velja:

Torej, če je zaporedje sestavljeno iz samih pozitivnih členov, je vsak člen enak geometrijski sredini poljubnih simetrično ležečih členov zaporedja:

Lastnosti

Ogledali si bomo, za katere kvociente $q$ in začetne člene $a_1$ geometrijsko zaporedje narašča, pada ali pa alternira.

Končna geometrijska vrsta

Vsota prvih n členov zaporedja

Vsota prvih $n$ členov zaporedja $a_n$ označimo z $S_n$ in je enaka:
$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$
Imenujemo jo tudi končna vrsta zaporedja $a_n$ .

Končna geometrijska vrsta

Končna geometrijska vrsta $S_n$ je vsota prvih $n$ členov geometrijskega zaporedja $a_n$ in je enaka:
$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ za $q \neq 1$
(če je $q = 1$ , je zaporedje konstantno in je $S_n = n \cdot a_1$ )

Neskončna geometrijska vrsta

Neskončna vrsta

Vsote:
$S_1 = a_1$
$S_2 = a_1+a_2$
$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$
$S_4 = a_1 + a_2+a_3 + a_4$
$\cdots$
$S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \cdots + a_n$
imenujemo delne vsote zaporedja. Te vsote $S_1, S_2, S_3, \cdots, S_n$ tvorijo zaporedje, ki ga imenujemo zaporedje delnih vsot.

Vsota neskončne vrste je limita zaporedja delnih vsot: $S = \lim_{n \to \infty} S_n$ .
Ko ta limita obstaja, vrsta $a_1 + a_2 + \cdots + a_n + \cdots$ konvergira k $S$ .

Neskončna geometrijska vrsta

Neskončna geometrijska vrsta $S$ je vsota $a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3\cdots$ .

Ta vrsta konvergira (obstaja) za $|q| < 1$ in je enaka:
$S = \frac{a_1}{1 - q}$

Primer:

Vsota geometrijskega zaporedja $1, \frac{1}{2},\frac{1}{4} \cdots$ je:
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$

Produkt členov

Produkt prvih $n$ členov geometrijskega zaporedja $a_n$ izračunamo po formuli:
$p_n = (a_1 a_n)^{\frac{n}{2}}$

Rešeni primeri

Primer

Izračunaj splošni člen geometrijskega zaporedja 2, 10, 50, 250, …
Koliko je naslednji člen tega zaporedja?

Najprej izračunajmo količnik: $q = \frac{10}{2} = 5$
Vemo, da je prvi člen zaporedja $a_1 = 2$
Sedaj te podatke vstavimo v formulo za splošni člen in ga izračunamo:
$a_n = a_1 \cdot q ^{n-1} = 2 \cdot 5^{n-1}$

Imamo podane prve štiri člene zaporedja, izračunajmo 5.člen:
$a_5 = 2 \cdot 5^{5-1} = 2 \cdot 5 ^4 = 2 \cdot 625 = 1250$

Primer

Za katere $x$ so $4 \cdot 3 ^{x-2}, 2 \cdot 3^{2x+4}, 3 ^{2x+9}$ zaporedni členi geometrijskega zaporedja?

Srednji člen bo geometrijska sredina sosednjih dveh:
$2 \cdot 3^{2x+4} = \sqrt{(4 \cdot 3 ^{x-2})(3 ^{2x+9})}$
Kvadrirajmo: $(2 \cdot 3 ^{2x+4})^2 = 4 \cdot 3 ^{x-2}3 ^{2x+9}$
$2^2 \cdot 3^{(2x+4)2} = 4 \cdot 3^{x-2+2x+9}$
$4 \cdot 3 ^{4x+8} = 4 \cdot 3 ^{3x+7} / : 4$
$3^{4x+8} = 3 ^{3x+7}$
$4x+8 = 3x+7$
$x = -1$

Primer

Naj bo $a_n$ geometrijsko zaporedje s pozitivnimi členi, za katerega velja $a_1 \cdot a_3 = 144$ in $a_4 - a_2 = 15$ . Izračunaj splošni člen.

Iz $a_1 \cdot a_3 = 144$ lahko izačunamo $a_2$ , saj velja: $a_2 = \sqrt{a_1 a_3}$
Torej bo $a_2 = \sqrt{144} = 12$

Zdaj pa lahko vstavimo $a_2 = 12$ v drugo enačbo:
$a_4 - a_2 = 15$
$a_4 - 12 = 15$
$a_4 = 27$

Sedaj pa bomo izračunali količnik:
Pri geometrijskem zaporedju velja, da je $a_{n+1} = a_n \cdot q$ (torej: $a_3 = a_2 \cdot q$ in $a_4 = a_3 \cdot q$ )
Če vstavimo $a_3 = a_2 \cdot q$ v to enačbo za $a_4$ , dobimo:
$a_4 = a_2\cdot q \cdot q = a_2 \cdot q^2$
Sedaj lahko vstavimo prej izračunane $a_2$ in $a_4$ :
$27 = 12 \cdot q^2 / :12$
$q^2 = \frac{27}{12}$
$q^2 = \frac{9}{4}$
$q = \frac{3}{2}$

Izračunajmo $a_1$ , da lahko zapišemo splošni člen: $a_1 = \frac{a_2}{q}$ (ker je $a_2 = a_1 q$ )
$a_1 = \frac{12}{\frac{3}{2}} = \frac{12 \cdot 2}{3} = 8$

Splošni člen je: $a_n = 8 \cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$

Primer

Napiši splošni člen geometrijskega zaporedja, če velja:
$a_3 + a_5 = 60$ in $a_1 - a_5 = -45$

Po formuli za splošni člen geometrijskega zaporedja zapišemo $a_3$ in $a_5$ .
$a_3 = a_1 \cdot q^2$
$a_5 = a_1 \cdot q^4$

Vstavimo $a_3$ in $a_5$ v 1. enačbo in dobimo: $a_3 + a_5 = 60$
$a_1 \cdot q^2 + a_1 \cdot q^4 = 60$
$a_1 (q^2 + q^4) = 60 / :(q^2 + q^4)$
$a_1 = \frac{60}{q^2 + q^4}$

Iz 2. enačbe pa dobimo: $a_1 - a_5 = -45$
$a_1 - a_1 \cdot q^4 = -45$
Vstavimo $a_1$ , ki smo ga izrazili prej v to enačbo:
$\frac{60}{q^2 + q^4} - \frac{60}{q^2 + q^4} q^4 = -45/ \cdot (q^2 + q^4)$
$60 - 60q^4 = -45q^2 - 45q^4$
$15q^4 - 45q^2 - 60 = 0 / : 15$
$q^4 - 3q^2 - 4 = 0$
$(q^2 -4)(q^2+1) = 0$
$(q-2)(q+2)(q^2+1) = 0$
$q_1 = 2, q_2 = -2$

Dobili smo dva količnika, zato bomo na koncu dobili dva rezultata.
Izračunamo še $a_1$ in $a_n$ za oba zaporedja:

zaporedje:
$a_1 = \frac{60}{q^2 + q^4} = \frac{60}{2^2 + 2^4} = \frac{60}{20} = 3$
$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
zaporedje:
$a_1 = \frac{60}{(-2)^2 + (-2)^4} = 3$
$a_n = 3 \cdot (-2)^{n-1}$

Primer

Reši enačbo $-2+8-32+\cdots + x = 26214$

Opazimo, da je $-2,8,-32\cdots$ geometrijsko zaporedje, kjer je vsak naslednji člen s kvocientom $q=-4$ .
Zapisano imamo končno vsoto geometrijskega zaporedja, kjer je $n$ -ti člen, torej $a_n =x$ .

Napišemo formulo za končno vsoto geometrijskega zaporedja:
$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$
$26214 = \frac{-2(1-4^n)}{1-(-4)}$
$26214= \frac{-2+2\cdot 4^n)}{5}/\cdot 5$
$131070 = -2+2\cdot 4^n$
$131070 + 2 = 2 \cdot 4^n$
$131072 = 2 \cdot 4^n / : 2$
$65536 = 4^n / \log_4$
Logaritmiramo:
$n = \log_4 65536$
$n = 8$

Formula za splošni člen geometrijskega zaporedja je: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$
$x$ bo 8. člen zaporedja:
$x = a_8 = a_1 \cdot q^7$
$x = -2 \cdot (-4)^7$
$x = 32768$