inštrukcije > elektrotehnika > Prevedba vzporedne vezave na zaporedno

Objavljeno: 16.9.2019

Prevedba vzporedne vezave na zaporedno

Pojasnjuje vam: Inštruktor Žan

PREVEDBA VZPOREDNE RC VEZAVE NA NAVIDEZNO ZAPOREDNO RC VEZAVO
S pomočjo formule za izračun skupne impedance dveh elementov, v tem primeru upora R in kondenzatorja C, lahko pridemo do enačbe ki ponazarja navidezno zaporedno vezavo RC.
Tako lahko paralelno vezavo prevedemo na zaporedno in si tako olajšamo računanje.

$Z_n=\frac{jX_C R}{jX_C - R}$

Ulomek spodaj in zgoraj pomnožimo z:

$(R+jX_C)$

Tako dobimo:

$Z_n = \frac{jX_C R(R+jX_C)}{(R+jX_C)(-R+jX_C)} =$

$=\frac{R^2}{-R^2-X_C^2} = \frac{R X_C^2-jX_C R^2}{R^2+X_C^2}$

Kjer smo člene med sabo pomnožili in upoštevali :

$j^2 = -1$

Tako dobimo:

$Z_n = \frac{R X_C^2}{R^2+X_C^2}-j\frac{X_C R^2}{R^2+X_C^2} =$

$= R_S-jX_S$

Kot vidimo iz enačbe dobimo s pomočjo preureditve enačbe za skupno impedanco paralelne vezave upora in kondenzatorja enačbo za skupno impedanco navidezne zaporedne vezave upora in kondenzatorja.
Kar lahko predstavimo z faznim diagramom navideznih impedanc:

Namig: Za ponovitev zaporedne vezave upora in kondenzatorja klikni tukaj.

Imamo izraz:

$Z_n = \frac{1}{R^2+X_C^2}(R X_C^2-jX_C R^2) =$

$= R_S-jX_S$

Izračunajmo sedaj absolutno vrednost impedance:

$|Z_n| = \frac{1}{R^2+X_C^2}\sqrt{(R X_C^2)^2+(X_C R^2)^2} =$

$= \frac{1}{R^2+X_C^2}\sqrt{(R^2 X_C^4)+(X_C^2 R^4)}$

Vrednost v oklepajih kvadriramo in izpostavimo skupni koeficient, kjer vidimo da lahko izraz delno korenimo :

$|Z_n| = \frac{1}{R^2+X_C^2}\sqrt{R^2 X_C^2(X_C^2+ R^2)}=$

$=\frac{1}{R^2+X_C^2}\sqrt{R^2 X_C^2}\sqrt{(X_C^2+ R^2)}$

Ko izraz poenostavimo dobimo izraz za absolutno impedanco vzporedne vezave:

$|Z_n| = \frac{R X_C}{R^2+X_C^2}\sqrt{(X_C^2+ R^2)}$

Sedaj pa absolutno vrednost kvadriramo in primerjamo z vrednosto navidezne serijske upornosti vezja

$|Z_n|^2=\frac{R^2 X_C^2}{(R^2+X_C^2)(R^2+X_C^2)}\sqrt{(X_C^2+ R^2)}^2=$

$=\frac{R^2 X_C^2}{(R^2+X_C^2)(R^2+X_C^2)}(X_C^2+ R^2)$

Izraz okrajšamo, se znebimo korena:

$|Z_n|^2=\frac{R^2 X_C^2}{(R^2+X_C^2)}$

Vidimo, da lahko izpostavimo eno upornost ali eno reaktanco:

$|Z_n|^2=\frac{R X_C^2}{(R^2+X_C^2)}R=$

$=\frac{R^2 X_C}{(R^2+X_C^2)}X_C$

Ker velja:

$\frac{R X_C^2}{R^2+X_C^2}=R_S$

$\frac{X_C R^2}{R^2+X_C^2} =X_S$

Lahko zgornjo enačbo zapišemo kot:

$|Z_n|^2=R_SR=(X_c)_sX_C$

Pri čemer sta R in C vrednosti paralelnih elementov, Rs in Xs pa vrednosti navidezno zaporedno vezanih elementov.
Če se spomnimo zaporedne RC vezave, lahko iz faznega diagrama razberemo, da je:

$R_S=|Z_n|cos(\phi)$

$X_S=|Z_n|sin(\phi)$

lahko zgornjo enačbo še poenostavimo. Poglejmo najprej kako sta povezana Rs in R preko faznega kota:

$|Z_n|^2=R_SR=|Z_n|cos(\phi)R$

Okrajšamo |Zn| na vsaki strani enačbe.

$|Z_n|=cos(\phi)R$

Enačbo za Rs obrnemo, da dobimo:

$|Z_n|=\frac{R_S}{cos(\phi)}$

in izraz vstavimo v enačbo zgoraj. Tako dobimo

$\frac{R_S}{cos(\phi)}=cos(\phi)R$

Ko enačbo preuredimo, dobimo:

$R=\frac{R_S}{cos^2(\phi)}$

Paralelno upornost lahko torej izračunamo po enačbi:

$R=\frac{R_S}{cos^2(\phi)}=\frac{|Z_n|}{cos(\phi)}$

Slednja nam poenostavi preslikavo med vzporeno in zaporeno RC vezavo.
Poglejmo še kako sta povezana Xs in Xc preko faznega kota:

$|Z_n|^2=X_SX_C=|Z_n|sin(\phi)X_C$

Okrajšamo |Zn| na vsaki strani enačbe.

$|Z_n|=sin(\phi)X_C$

Enačbo za Rs obrnemo, da dobimo:

$|Z_n|=\frac{X_S}{sin(\phi)}$

in izraz vstavimo v enačbo zgoraj. Tako dobimo

$\frac{X_S}{sin(\phi)}=sin(\phi)X_C$

Ko enačbo preuredimo, dobimo:

$X_C=\frac{X_S}{sin^2(\phi)}$

Paralelno upornost lahko torej izračunamo po enačbi:

$X_C=\frac{X_S}{sin^2(\phi)}=\frac{|Z_n|}{sin(\phi)}$

PREVEDBA VZPOREDNE RL VEZAVE NA NAVIDEZNO ZAPOREDNO RL VEZAVO
Na isti princip kot zgoraj postopamo za prevedbo na navidezno vzporedno vezavo paralelnega RL vezja.

$Z_n=\frac{jX_L R}{jX_L + R}$

Ulomek spodaj in zgoraj pomnožimo z:

$(R-jX_L)$

Tako dobimo:

$Z_n =\frac{jX_L R(R-jX_L)}{(R+jX_L)(R-jX_L)}=\frac{R X_L^2+jX_L R^2}{R^2+X_L^2}$

Nato pa člene med sabo pomnožimo in upoštevamo :

$j^2 = -1$

Tako dobimo:

$Z_n =\frac{R X_L^2}{R^2+X_L^2}+j\frac{X_L R^2}{R^2+X_L^2} =$

$=R_S+jX_S$

Kot vidimo iz enačbe dobimo s pomočjo preureditve enačbe za skupno impedanco paralelne vezave upora in tuljave enačbo za skupno impedanco navidezne zaporedne vezave upora in tuljave.
Kar lahko predstavimo z faznim diagramom navideznih impedanc:

Namig: Za ponovitev zaporedne vezave upora in tuljave klikni tukaj.

Imamo izraz:

$Z_n =\frac{1}{R^2+X_L^2}(R X_L^2+jX_L R^2)=R_S+jX_S$

Izračunajmo sedaj absolutno vrednost impedance:

$|Z_n|=\frac{1}{R^2+X_L^2}\sqrt{(R X_L^2)^2+(X_L R^2)^2}=$

$=\frac{1}{R^2+X_L^2}\sqrt{(R^2 X_L^4)+(X_L^2 R^4)}$

Vrednost v oklepajih kvadriramo in izpostavimo skupni koeficient, kjer vidimo da lahko izraz delno korenimo :

$|Z_n|=\frac{1}{R^2+X_L^2}\sqrt{R^2 X_L^2(X_L^2+ R^2)}=$

$=\frac{1}{R^2+X_L^2}\sqrt{R^2 X_L^2}\sqrt{(X_L^2+ R^2)}$

Ko izraz poenostavimo dobimo izraz za absolutno impedanco vzporedne vezave:

$|Z_n|=\frac{R X_L}{R^2+X_L^2}\sqrt{(X_L^2+ R^2)}$

Sedaj pa absolutno vrednost kvadriramo in primerjamo z vrednosto navidezne serijske upornosti vezja

$|Z_n|^2=\frac{R^2 X_L^2}{(R^2+X_L^2)(R^2+X_L^2)}\sqrt{(X_L^2+ R^2)}^2 =$

$=\frac{R^2 X_L^2}{(R^2+X_L^2)(R^2+X_L^2)}(X_L^2+ R^2)$

Izraz okrajšamo, se znebimo korena:

$|Z_n|^2=\frac{R^2 X_L^2}{(R^2+X_L^2)}$

Vidimo, da lahko izpostavimo eno upornost ali eno reaktanco:

$|Z_n|^2=\frac{R X_L^2}{(R^2+X_L^2)}R=\frac{R^2 X_L}{(R^2+X_L^2)}X_L$

Ker velja:

$\frac{R X_L^2}{R^2+X_L^2}=R_S$

$\frac{X_L R^2}{R^2+X_L^2} =X_S$

Lahko zgornjo enačbo zapišemo kot:

$|Z_n|^2=R_SR=(X_L)_sX_L$

Pri čemer sta R in L vrednosti paralelnih elementov, Rs in Xs pa vrednosti navidezno zaporedno vezanih elementov.
Če se spomnimo zaporedne RL vezave, lahko iz faznega diagrama razberemo, da je:

$R_S=|Z_n|cos(\phi)$