Potence in koreni

Potence z naravnim eksponentom

Potenca $a^n$, kjer je n naravno število, je krajši zapis za produkt $n-$faktorjev števila a.
Številu $a^n$ rečemo tudi $n-$ta potenca števila a. Število a imenujemo osnova, število n pa eksponent ali stopnja potence. Kadar je eksponent naravno število, je osnova lahko poljubno realno število. Potenci z eksponentom 2 rečemo tudi kvadrat, potenci s številom 3 pa kub.
Pravila za računanje s potencami: \begin{align} \nonumber a^n \cdot a^m = a ^{n+m} \\ \nonumber (a \cdot b)^n = a^{n} \cdot b^n \\ \nonumber (a^n)^m = a^{n \cdot m} \end{align}

Potence s celim eksponentom

Potence z negativnim celim eksponentom definiramo kot $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, potence z eksponentom nič pa definiramo kot $a^0 = 1$. Kadar je eksponent negativno število ali 0, je osnova poljubno realno število, z izjemo ničle.
Pravila za računanje s potencami: \begin{align} \nonumber a^n \cdot a^m = a ^{n+m} \\ \nonumber (a \cdot b)^n = a^{n} \cdot b^n \\ \nonumber (a^n)^m = a^{n \cdot m} \\ \nonumber \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} \\ \nonumber (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \nonumber \end{align} Zgled: $$(a^2 \cdot b^{-3})^2 \cdot (a^3 \cdot b^2)^3 = a^4 \cdot b^{-6} \cdot a^9 \cdot b^6 = a^{13} \cdot b^0 = a^{13}$$

Kvadratni koren

Ko poznamo kvadrat nekega števila, se lahko vprašamo, katero število smo pomnožili samo s seboj, da smo dobili dani kvadrat. Postopku iskanja tega števila rečemo korenjenje, najdeno število pa poimenujemo kvadratni koren. Kvadratni koren števila a je tisto število x, za katerega velja $x^2 = a$. Število $x$ zapišemo kot $\sqrt{a}$. Število a se imenuje korenjenec, simbolu $\sqrt{}$ pa pravimo korenski znak.
Kaj mora veljati za števili $a$ in $x$?

$x^2$ ne more biti negativno število, zato je lahko $a \geq 0$
enačba $x^2 = a$ (za $a \geq 0$) ima dve rešitvi: $x_1 = \sqrt{a}$ in $x_2 = -\sqrt{a}$
za definicijo kvadratnega korena vzamemo pozitivno od obeh vrednosti, torej $x = \sqrt{a}$

Poglejmo si še dva primera, ko je v istem izrazu kvadrat in kvadratni koren, pri čemur se pokaže občutna razlika, glede na to, ali najprej korenimo in potem kvadriramo ali obratno:

$(\sqrt{a})^2 = a$, pravilo velja le za $a \geq 0$
$\sqrt{a^2} = |a|$, pravilo velja za poljuben a

n-ti koreni

Pri kvadratnem korenu smo povedali, da je kvadriranje obratna operacija od korenjenja. Sedaj lahko to definicijo razširimo tudi na poljuben eksponent $n$, kjer je $n$ naravno število. Velja, n-ti koren števila a je tisto število x, ki reši enačbo $x^n = a$. Dobljeno število x lahko zapišemo kot $x=\sqrt[n]{a}$. Ločimo dve definiciji, glede na to, kakšna sta korenski eksponent n in število a:

Če je $n$ sodo naravno število, potem mora biti a nenegativno realno število in je $\sqrt[n]{a}$ nenegativno realno število.
Če je $n$ liho naravno število, potem je lahko a poljubno realno število in je $\sqrt[n]{a}$ realno število.

Pravila za računanje s koreni: \begin{align} \sqrt[n \cdot r]{a^{m \cdot r}} = \sqrt[n]{a^m} \\ \nonumber \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \\ \nonumber \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a} \nonumber \end{align} Za lihe korenske eksponente velja še \begin{align} \sqrt[n]{-a} = - \sqrt[n]{a}. \nonumber \end{align} Dogovor glede zapisa : $\sqrt[2]{a}= \sqrt{a}$ in $\sqrt[1]{a} = a$.

Delno korenjenje in racionalizacija imenovalca

Delno korenjenje je postopek, ki ga uporabimo, kadar želimo koreniti število, ki ni popoln kvadrat, lahko pa ga zapišemo kot produkt popolnega kvadrata in še enega števila.
Zgled: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{3}$$
Postopek, kjer v imenovalcu ulomka odpravimo koren, imenujemo racionalizacija imenovalca. To naredimo tako, da ulomek (števec in imenovalec) pomnožimo s takim izrazom, da v imenovalcu odpravimo ulomek.
Zgled : $$\frac{3}{\sqrt{2}}= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}= \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{4}} =\frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2}$$

Potence z racionalnim eksponentom

Koren lahko zapišemo tudi kot potenco z racionalnim eksponentom. Definiramo $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $ oz. $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Pravila za računanje s potencami z racionalnim eksponentom so enaka kot pravila za računanje s potencami s celim eksponentom: \begin{align} a^{\frac{m}{n}} \cdot a^{\frac{p}{r}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{r}} \\ \nonumber (a \cdot b)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}} \\ \nonumber (a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{r}} = a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{r}} \\ \nonumber (\frac{a}{b})^{\frac{m}{n}} = \frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}} \\ \nonumber \frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{p}{r}}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{r}} \\ \nonumber a^{- \frac{m}{n}} = \frac {1}{a^{\frac{m}{n}}} \nonumber \end{align} Dogovorimo se, da bomo računali s potencami z racionalnim eksponentom samo takrat, kadar sta osnovi a in b pozitivni realni števili. Le v tem primeru je namreč vseeno, ali sta korenski in potenčni eksponent soda ali liha. Če bi imeli lahko tudi negativne osnove, bi morali vsako pravilo obravnavati posebej glede na to, kakšni so eksponenti. Zgled: $$\sqrt[12]{8 \cdot a^3 \cdot b^9 \cdot c^{15}} = \sqrt[4]{2 \cdot a \cdot b^3 \cdot c^5}$$